In realtà dipende da dove devi prendere il testo da scrivere. Ad esempio, se per ipotesi devi prenderlo da un'altra textarea:
codice:
<html>

<head>
  <title>CopyTextArea</title>
  <script type="text/javascript">
  <!--
  function scriviTextArea() {
    f = document.foems['myForm'];
    
    f.elements['myTAdest'].value = f.elements['myTAsrc'].value;
  }
  //-->
  </script>
</head>

<body>
  <form name="myForm" id="myForm">
    <textarea name="myTAsrc" id="myTA">Ciao a tutti!</textarea>
    <textarea name="myTAdest" id="myTA"></textarea>
    <input type="button" name="myButton" id="myButton" onclick="scriviTextArea();">
  </form>
</body>

</html>