all'interno della funzione contr_nome($name); non esiste nessuna variabile $db, dunque è normale che ti dia l'errore, devi render visibile la tua variabile $db della connessione (che viene dall'include connessione.php) all'interno della funzione.
Metti global $db; nella tua funzione.
Codice PHP:<?
function contr_nome($name) {
global $db;
$query= "select cod_cliente from clienti where nome = '$name'";
$result = mysql_query($query, $db) or die(mysql_error());
if (mysql_num_rows($result) > 0)
return true;
}
?>

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