all'interno della funzione contr_nome($name); non esiste nessuna variabile $db, dunque è normale che ti dia l'errore, devi render visibile la tua variabile $db della connessione (che viene dall'include connessione.php) all'interno della funzione.

Metti global $db; nella tua funzione.
Codice PHP:
<?
function contr_nome($name) {
global 
$db;
$query"select cod_cliente from clienti where  nome = '$name'";
$result mysql_query($query$db) or die(mysql_error());
if (
mysql_num_rows($result) > 0)
return 
true;
}
?>