Devi recuperare l'id inserito nella prima tabella e passarlo nel campo apposito della seconda.
codice:
<?
mysql_connect("localhost", "root", "") or die("impossibile connettersi al server");
mysql_select_db("prova")or die("No database");
 
$query1=" INSERT INTO utenti (id_utente, nome_utente, password, email, telefono, compleanno, sesso, cittaresidenza, cap, provincia, nazione, professione)
         VALUES ('',
            '$nome_utente',
            '$password',
            '$email',
            '$telefono',
            '$compleanno',
            '$sesso',
            '$cittaresidenza',
            '$cap',
            '$provincia',
            '$nazione',
            '$professione')";

$resource = mysql_query($query1) or die("Impossibile eseguire query");

$insert_id = mysql_insert_id($resource);

$query2="INSERT INTO interessi (id_interessi, utenti_id_utente, auto, musica, computer, sport, internet, viaggi, altro)
         VALUES ('',
            '$insert_id',
            '$auto',
            '$musica',
            '$computer',
            '$sport',
            '$internet',
            '$viaggi',
            '$altro')";
mysql_query($query2) or die("Impossibile eseguire query");

        mysql_close(); 

      ?>