provando il tuo codice mi ha tirato fuori un paio di errori, prova questo qui e vedrai che funzionerà!

Codice PHP:
<form name="form_1" method="post" action="<?=$_SERVER['PHP_SELF'];?>">
<input name="nome" type="checkbox" value="checkbox" checked>
Contatto amministrativo


<input name="cognome" type="checkbox" value="checkbox" checked>
<input type="submit" name="submit" value="Invia"></form>

<?php
if(isset($_POST['submit']))
{
  
//....
}
?>