1) Carichi sul tuo attuale server phpmyadmin
2) Selezioni il db e fai il dump (in pratica salvi sull'hd un file di testo)
3) scarichi tutto il sito sul tuo pc
4) Carichi phpmyadmin e il sito scaricato dall'altro server sul nuovo server
5) accedi a phpmyadmin e ricarichi tutto il db sul nuovo server (clicchi "sql" che sta in alto e fai il copia e incolla del file salvato precedentemente)
6) provi a vedere se tutto funziona bene
7) Se funziona tutto cancelli tutto dall'altro db altrimenti cerchi di risolvere il problema