La classe puoi richiamarla quante volte vuoi in una pagina html;
il #DIV no; deve essere univoco; infatti nella pagina html tu scrivi:
<div id="NomeAssegnato">.....</div>
Non puoi avere un secondo <div id="NomeAssegnato">.
Per fare interpretare i CSS in maniera corretta ai browser, basta scrivere codice standard; ovvio che le differenze di visualizzazione si risolvono con vari hack (leggi trucchetti).

P.S. Anche con una classe, in Opera, hai la barra di scorrimento
verticale; prova questo codice:
.box2{
margin:10px auto;
padding:0;
width:400px;
height:120px;
border:1px solid #00f;
overflow:auto;
}
nel body scrivi un testo lungo:
<div class="box2">


Lorem ipsum dolor sit amet</p>
</div>

sciau!!