Ogni utente ha un suo database.
Ma chiariamo il concetto... per database non si intende il demone mysql (che è un software che gestisce i dati).
MySQL crea n cartelle con il nome del database. Ogni cartella "rappresenta" i database. Poi in ogni cartella ci sono dei file di record che rappresentano le tabelle.
Quindi con mysql puoi avere più database gestiti da un solo demone. Ma in un database (cioè in una cartella) non puoi avere più cartelle con lo stesso nome.