tra client e servlet ci sarà un canale di comunicazione.
Quindi dichiari una variabile nel servlet che viene settata ad 1 quando ha finito il lavoro e viene spedita al client.
Il client rimane in attesa finchè non riceve questa var e dopo averla ricevuta cotrolla il valore e riabilita il bottone


Per il bottone puoi usare il metodo setenabled(boolean)...