strcpy(stringa, "tutto");


oppure dichiari stringa non come array ma come oggetto string:

std::string stringa;

e nel costruttore puoi semplicemetne fare un assegnamento:

codice:
#include <string>


class MYCLASS{

	std::string stringa;
public:
	MYCLASS(const char * p_x){
		stringa = p_x;
		cout << p_x << endl; 
		cout << *p_x << endl; 
		cout << &p_x << endl; 
		cout << stringa << endl; 
	}
	
};