Probabilmente perchè nell'input hidden devi mettere l'attributo name e non nome

Codice PHP:
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<html>
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<title>Documento senza titolo</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
</head>
<body><form method="post" action="validare.php">
<?php
if($_POST['nome'] == ""){
    echo'Il campo Nome deve essere rempito

        Nome: <input type="text" name="nome" size="20">
';
}
else{
    echo'<input type="hidden" name="nome" value="'.$_POST['nome'].'">nome memorizzato
';
}
if($_POST['cognome'] == ""){
    echo'Il campo Cognome deve essere rempito

        Cognome: <input type="text" name="cognome" size="20">
';
}
else{
    echo'<input type="hidden" name="cognome" value="'.$_POST['cognome'].'">cognome memorizzato
';
}
if($_POST['nome'] != "" && $_POST['cognome'] != ""){
    echo'registrazione fatta
';
}
else{
    echo'<input type="submit" name="invia" value="Invia">';
}
?>
</form>
</body>
</html>