Con quel codice darebbe errore, perchè le stringhe vanno incluse all'interno degli apici. Ti sconsiglio di usare la funzione mysql_db_query (dalla versione 4.0.6 di php è considerata deprecated).

Codice PHP:
<?
# dati da modificare a seconda del database
$host="localhost";
$user="xxx";
$pass="xxx";

$db=mysql_connect($host,$user,$pass) or die ('Errore durante la connessione al database: '.mysql_error());
mysql_select_db('archivio');
$sql="INSERT INTO artista (nome,cognome) VALUES('".$nome."','".$cognome."')";
mysql_query($sql,$db) or die('Errore durante la query: '.mysql_error());
mysql_close();
?>
in questo modo se ci sono degli errori te li stampa e puoi fare un troubleshooting più preciso.