Il tuo problema è praticamente su Javascript, non su ASP.NET
Non mi risulta comunque sia possibile da JS sapere se c'è un debugger attaccato, ma non escludo possa esistere.
Se il problema è questo ti consiglio di chiedere nel forum apposito per i linguaggi di scripting.

Se invece il problema riguarda il code behind allora la cosa è fattibile e si basa sul fatto che compilando in modalità Debug viene aggiunto un simbolo, DEBUG appunto.

codice:
#if DEBUG
    Console.WriteLine("Sono in debug");
#endif
Compilando in modalità Release questo simbolo non è presente e quindi quel codice non verrà compilato.

Per sapere invece in C# se c'è un debugger attaccato la proprietà da leggere è System.Diagnostics.Debugger.IsAttached anche questa disponibile solo se si è compilato con i simboli di debug.

HTH