quando fai una query..

mysql_query() or die(mysql_error());

le variabili prese da un form con moetodo POST le hai nellì'array $_POST

quindi

$query = "INSERT INTO Dati (cognome,nome) VALUES ('".$_POST["nome"]."', '".$_POST["cognome"]."')";

mysql_query($query) or die(mysql_error());

e per stare più sicuri vedi se sti dati ci sono

echo "<pre>";
print_r($_POST);
echo "</pre>";