cosi provandolo in locale da me, funziona, creava problemi la modilata di apertura del file, r+ non solo sommava +1 al contenuto del file ma lo duplicava
qusto fa lo stesso, solo che se non presente, il file viene creato.

$Nome_Contatore='contatore.txt';

if(isset($_SESSION['Contatore'])==false)
{
if (!file_exists($Nome_Contatore))
{
$tmp=fopen($Nome_Contatore,'w');
$Numero_Visite=0;
fwrite($tmp,$Numero_Visite);
fclose($tmp);
}
$tmp=fopen($Nome_Contatore,'r');
$Numero_Visite=fread($tmp,filesize($Nome_Contatore ));
fclose($tmp);
$tmp=fopen($Nome_Contatore,'w');
$Numero_Visite++;
echo 'Sei il '.$Numero_Visite.'° Visitatore di questo sito!';
fwrite($tmp,$Numero_Visite);
fclose($tmp);

}
else
{
$_SESSION['Contatore']="SI!";
}