Seguendo il tuo esempio di modificare June con Giugno puoi fare così (Ti ho messo i commenti per farti capire meglio )...

Codice PHP:
<?
//Inserisco nella variabile data la data completa
$data = date("d F Y H:i") ;
//Controllo se nella variabile data c'è la parola 'June'
if(strpos($data,'June') !== false){
//C'è il termine 'June' quindi lo sostituisco
$data = str_replace('June','Giugno',$data);
}
?>
Naturalmente questo per tutti i casi possibili (Gennaio, Febbraio...)