Devi recuperare il contesto dell'applet e da lì muoverti in giro.

Giusto due righe

codice:
import javax.swing.*;
import java.awt.*;
import java.awt.event.*;
import java.applet.*;

public class appletContextDemo extends JApplet implements ActionListener {

  AppletContext ac;

  public void actionPerformed (ActionEvent ae) {
    try {
      ac.showDocument(new java.net.URL("http://www.google.com"), "_blank");
    }
    catch (Exception e) {

    }

  }
  public void init() {
    ac = this.getAppletContext();
    JButton google = new JButton("Google");
    this.add(google);
    google.addActionListener(this);
  }

}
ac.showDocument prende un URL e il target frame, (_blank indica nuova pagine del browser).
Saluti.