Allora appena il post viene inviato la pagina in php prende i valori del $_POST e in base a quelli esegue la ricerca

codice:
SELECT * 
FROM `tabella`
WHERE `colonna_in_cui_cercare` LIKE '%parola%'
SELECT * -> Seleziona tutte le righe
FROM `tabella` -> dalla tabella di nome tabella
WHERE `colonna_in_cui_cercare` LIKE '%parola%' -> in cui la colonna "colonna_in_cui_cercare" contiene la parola "parola"

E' un semplicissimo select con una clausola where
dopo di questo fai un while e stampi i risultati