Innanzitutto l'uso di Eclipse è del tutto indipendente dal sistema operativo che hai sotto...(Windows o Unix like tipo Linux)...infatti è fatto lui stesso in Java, quindi sei hai la JVM su Linux non dovresti aver problemi una volta compilato il tutto!! Per l'esecuzione vai sulla accanto alla freccia verde sul Toolbar...apri il menù a tendina(basta cliccare o puntare la freccina nera in giù..ti scorrerà un menù)...vai su Run as...ora basta scegliere se hai una classe con main() ho hai fatto un applet (o JApplet essendo Swing)...la cosa migliore è fare tutto a mano, cercando esempi sul web e basandosi sulle immancabili API documentations(reperibili presso il sito della Sun)...comunque mi sembra ci siano plug in per eclipse...inoltre mi è stato detto che anche netbeans della Sun gestisce le GUI