Il trucco sta nell'assegnare ai checkbox lo stesso attributo name (solo il name l'id deve essere diverso).

codice:
<INPUT type="checkbox" id="checkbox<%=x%>" name="check_elimina" value="<%=rs("ID_Part")%>">
<%x=x+1%>
quindi ti crei un pulsante che ti effettua il submit del form ad una pagina ad esempio elimina.asp (mi raccomando i checkbox devono stare all'interno del form):
codice:
<form name="frm" action="elimina.asp" method="post">
  ...
  <input type="submit" name="btn_elimina" value="Elimina selezionati">
</form>
A questo punto nella pagina elimina potrai recuperare tutti gli id dei checkbox selezionati separati da virgola nella variabile Request("check_elimina"):
codice:
dim strIdCheck

strIdCheck = Request("check_elimina")