Puoi memorizzare oggetti nelle sessioni senza problemi, purchè in tutte le pagine in cui richiami l'oggetto da sessione sia inclusa la definizione della classe a cui l'oggetto appartiene.

Però questi oggetti non possono contenere in una loro proprietà il resource che rappresenta la connessione, dovrai chiamare ogni volta il metodo connect (o come lo chiamerai).

E' impossibile, quale che sia il linguaggio che usi, determinare cone sattezza il termine di una sessione di navigazione, puoi solo supporre dopo un tot di inattività che l'utente se ne sia andato.
Quindi se l'utente torna dopo che quel tot è scaduto consideri la sessione terminata.
Did efault le sessioni in PHP scadono dopo 20 minuti di inattività (vedi php.ini), ma puoi modificare questo valore o crearti un tuo sistema di scadenze