Il form sta sul client.
Quando invii il form viene fatta una richiesta al server
Il server fa girare il PHP, che a sua volta fa accesso al database (mySQL).
Quindi viene inviata al client la pagina di risposta (creata al volo dal PHP).

Questo e` il processo standard. Come vedi non e` possibile fare quanto chiedi.

Si puo` forse simulare una ricerca nella stessa pagina, ma hai necessita` di un frame nascosto o di una popup nascosta.