E' fuori discussione che <?PHP ?> vanno messi sia in apertura che in chiusura del codice PHP, quindi su questo non avere dubbi.

Quanto all'errore che ti dà il file install.php è un errore di selezione del database e non di connessione (svista mia). Però è molto strano, perché stando al codice, ti dovrebbe dare lo stesso identico errore quando fai partire index, e invece quando vai su index la selezione del db avviene correttamente.

Comunque controlla che $db_name = "test"; corrisponda effettivamente al nome del tuo database in mysql.