Hai 2 strade percorribili:

1) Appena dopo aver fatto l'append, riposizioni il cursore con il metodo setCaretPosition()

2) Inserisci il testo all'inizio e non alla fine del testo. Per fare questo è sufficiente qualcosa del genere:
codice:
String contenuto = miaJTextArea.getText();
miaJTextArea.setText(nuovoTesto + contenuto);
Ciao.