dunque...se ho compreso bene lo script...
modifica questa riga

$suc=fputs($fp, "<$nick> $text
\n")

con questa

$suc=fputs($fp, date("H:i",time()) ."<$nick> $text
\n")

x maggiori informazini su date: http://it2.php.net/manual/it/function.date.php

prova...
naturalmente pulisci (o cancella) il vecchio file chat.db