Non ho capito molto...cosa intendi per "nuova richesta del browser"? Vorresti sapere che pagina richiede il browser allo "scaricamento" o chiusura della pagina attuale?

Onunload cmq viene eseguito un attimo prima che la finestra venga chiusa o la pagina corrente sostituita con un'altra. Quindi teoricamente potresti "pilotare" il browser ad aprire una nuova finestra di cui conosci già il percorso della pagina (magari di una pagina PHP che contiene lo script per chiudere la sessione).

Ma non so se ho interpretato bene la tua domanda (mi sento molto "IE" quando dico questa cosa... ).