In php.ini ho controllato e session.use_cookies = 1, ho controllato sulle sessioni salvate e ho notato che il problema non è che non salva una sessione, ma che ogni volta che invoco session start() apre una nuova sessione non riconoscendo probabilmente l'id della sessione precedente.
I dati vengono quindi salvati, però ciascuno nel file di sessione che è stato aperto nella pagina in cui viene invocato l'array $_SESSION[].
Ti ringrazio comunque già da adesso per l'aiuto che mi stai dando!