Non puoi scrivere (da tastiera) dentro un oggetto HTML: l'unico modo per scrivere e` usare un campo di un form (text o textarea).
Puoi scrivere inuna textarea, e poi copiare il suo contenuto in un <div>.

Tale tecnica e` usata ad esempio nei blog di HTML.it: prova a scrivere un messaggio (non serve spedirlo): lo vedrai apparire nello spazio in fondo: credo che utilizzino il classico:
<textarea onkeyup="document.getElementById('QUALCOSA').inner HTML = this.value"> </textarea>