Nel caso di un trasferimento di dominio dal server A al server B, prima del trasferimento effettivo il dominio sarà visibile sul server A. A trasferimento avvenuto, il dominio sarà puntato ai dns del server B. Da questo momento, il provider cui sarà richiesto di visualizzare quel determinato sito continuerà a cercarlo utilizzando i dati disponibili nella propia cache, e quindi cercandolo nel precedente server (il server A). Per cui, il sito continuerà ad essere visibile sul server A.

Quando la cache sarà aggiornata (i provider la aggiornano periodicamente), il sito sarà rintracciato tramite i DNS corretti, e si vedrà sul server B, per cui il cliente potrà effettuare l'upload del proprio sito che tornerà così nuovamente visibile.
In pratica durante il trasferimento, un dominio sarà sempre visibile, ad eccezione del tempo necessario per effettuare l'upload a propagazione dei dns avvenuta (solitamente quindi qualche minuto).
Ogni ISP decide autonomamente la durata della cache dei propri nameserver, che può variare da qualche ora a qualche giorno. Nel caso dei domini .com ormai si tratta per lo più di 1-2 ore e il dominio punta al nuovo server.
Per i domini .it, i provider aggiornano la propria cache al massimo ogni 24 ore, salvo rare eccezioni.
Per cui niente paura di down o siti non raggiungibili per giorni, sono più leggende metropolitane che altro.
Qualche volta invece succede che si incappi in hoster scorretti (pochi, per fortuna) che non appena ricevono la richiesta di trasferimento da parte di un cliente subito staccano l'hosting per rappresaglia (ecco spiegato perchè il sito non si vede...), ma si tratta di un comportamento scorretto messo in atto da aziende poco serie (e anche malridotte, se sentono il bosogno di "vendicarsi" per 1 cliente che se ne va...) che non ha nulla a che vedere con il normale svolgersi di un trasferimento, in cui appunto il sito resta sempre visibile.
Per cui trasferisci tranquillamente il tuo sito presso il nuovo hoster che avevi scelto, non credo che avrai problemi