Ho cambiato li tuo script sperando daver capito cosa volevi
codice:
<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN"
"http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<HTML>
<HEAD>
<TITLE>Untitled Page</TITLE>

<style type="text/css">
/* stile di default del div su cui si apporterà poi il cambiamento di stile */
.attuale {background-color: red;
width: 300px;
height: 300px;
font-size: 18px;
color: #fff;
margin: auto;
}

/* ecco la classe da usare alla pressione del link "cambia stile" (vedi l'html) */
.nuova{background-color: blue;
width: 200px;
height: 200px;
font-size: 18px;
color: #fff;
margin: auto;}

</style>


<script type="text/javascript">

/* ecco la funzione che dovrebbe cambiare lo stile del div scelto */
function cambia(DIV){
var mutante = (document.getElementById(DIV).className == "attuale")? document.getElementById(DIV).className = "nuova" : document.getElementById(DIV).className = "attuale";
}

</script>

</HEAD>
<BODY>

cambia stile

<div id="mutevole" class="attuale">ciao come stai world?</div>

</BODY>
</HTML>
a ogni click cambia lo stile, il tuo credo non funzionasse perchè non assegnavi una classe al div, ma non sono sicuro. Se cosi puo andare bene Ok altrimenti come non detto.