Ti basta strutturare la cosa in maniera appena appena diversa, tipo:

contatore.txt
codice:
6589
24|300
Dove 300 è il giorno dell'anno (da 0 a 365)

Ora nel tuo file php ti basterà fare
Codice PHP:
$hits file($log_delle_visite);

$arr explode('|'$hits[1]);

// Controllo che l'ultimo conteggio non risalga ad oggi
$visite_giornaliere = ($arr[1] == date('z')) ? $arr[0]+1;

// Nuova stringa da inserire
$string $visite_giornaliere "|" date('z');