Nella pagina figlio succede che prima ricarichi madre (all'onsubmit) e che poi il form venga effettivamente mandato.

Prova invece ad aggiungere qualcosa del genere nella pagina figlio
codice:
<?php
if(isset($_POST['start'])) {
    
    $_SESSION["POP"]=$_POST["valore"];
//aggiunta
?>
<script language="javascript">
  opener.location.reload();
</script>
<?php
 //fine aggiunta
    }
else {
    $_SESSION["POP"]='K0';
}
?>