[panta1978] piano tangente e gradiente

[King TB]

come si calcola il piano tangente?

io ho la formula scritta:

z - z0 = gradiente di f . (P - P0)

ma non riesco a decifrare i componenti della formula, cioè, il gradiente ok, ma p, z cosa sono? ci sono altri metodi per calcolarlo?

poi una domanda più semplice: per valutare la continuità di una funzione a due variabili, funziona come per quelle ad una vero, cioè il limite nel punto deve essere uguale al valore della funzione nel punto?

[fisica]

Lo spazio tangente è l'insieme dei vettori ortogonali al gradiente della funzione, per cui se lo scrivo in forma parametrica ho

x=xp+grad(f)*t

dove x, xp e grad(f) sono intesi in modo vettoriale, cioè x è il vettore delle incognite, xp è il vettore delle coordinate del punto e t è il parametro.

lo posso scrivere anche come

x-xp=grad(f)*t

che si avvicina molto alla tua formula... non so perchè tu aggiungi anche un t_0, che mi sembra inutile (cioè se lo metti non cambia nulla, modifichi solo la parametrizzazione)

Per la continuità direi proprio di si

[fred84]

Originariamente inviato da King TB
poi una domanda più semplice: per valutare la continuità di una funzione a due variabili, funziona come per quelle ad una vero, cioè il limite nel punto deve essere uguale al valore della funzione nel punto?

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continua

[ettore8]

Il piano tg ha equazione:

z - z0 = fx (x - x0) + fy (y - y0)

dove fx e fy sono le derivate parziali prime rispetto a x e a y e x0, y0, z0, sono le coordinate del punto.

[panta1978]

Originariamente inviato da King TB
come si calcola il piano tangente?

io ho la formula scritta:

z - z0 = gradiente di f . (P - P0)

ma non riesco a decifrare i componenti della formula, cioè, il gradiente ok, ma p, z cosa sono? ci sono altri metodi per calcolarlo?

In uno spazio 3D, siano x, y e z le coordinate. Ogni punto dello spazio ha coordinate (x0,y0,z0).

z = f(x,y) è una superficie.
Facciamo un esempio: z=x^2+xy

Vogliamo trovare il piano tangente nel punto (x0,y0)=(2,1)

_ Prima cosa: calcolo il gradiente della funzione:
grad_z = (2x+y,x)

_ Poi calcolo il valore di grad_z nel punto in questione
grad_z(2,1) = (5,2)

_ Poi calcolo quanto vale la funzione z nel punto in questione (tale valore sarà il tuo z0):
z0 = 2^2+2*1 = 6

_ Ora puoi applicare la formula (indico con * il prodotto scalare):
z-z0 = grad_z(x0,y0) * [(x-x0),(y-y0)]

Da cui:
z-6 = [5,2]*[(x-2),(y-1)]
z-6 = 5(x-2)+2(y-1)

Volendo portando di qua e di là:
z = 5x + 2y - 6


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Originariamente inviato da King TB
poi una domanda più semplice: per valutare la continuità di una funzione a due variabili, funziona come per quelle ad una vero, cioè il limite nel punto deve essere uguale al valore della funzione nel punto?

Direi di sì anch'io.

[King TB]

Originariamente inviato da ettore8
Il piano tg ha equazione:

z - z0 = fx (x - x0) + fy (y - y0)

dove fx e fy sono le derivate parziali prime rispetto a x e a y e x0, y0, z0, sono le coordinate del punto.

questa formula mi sembra molto più agevole

un ultimo quesito, come si fa a valutare la continuità con il gradiente?

[King TB]

Originariamente inviato da panta1978
In uno spazio 3D, siano x, y e z le coordinate. Ogni punto dello spazio ha coordinate (x0,y0,z0).

z = f(x,y) è una superficie.
Facciamo un esempio: z=x^2+xy

Vogliamo trovare il piano tangente nel punto (x0,y0)=(2,1)

_ Prima cosa: calcolo il gradiente della funzione:
grad_z = (2x+y,x)

_ Poi calcolo il valore di grad_z nel punto in questione
grad_z(2,1) = (5,2)

_ Poi calcolo quanto vale la funzione z nel punto in questione (tale valore sarà il tuo z0):
z0 = 2^2+2*1 = 6

_ Ora puoi applicare la formula (indico con * il prodotto scalare):
z-z0 = grad_z(x0,y0) * [(x-x0),(y-y0)]

Da cui:
z-6 = [5,2]*[(x-2),(y-1)]
z-6 = 5(x-2)+2(y-1)

Volendo portando di qua e di là:
z = 5x + 2y - 6


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Direi di sì anch'io.

sei sempre il migliore, altro che carnauser

[King TB]

ancora 2 domande

- se ho un problema di cauchy, e mi viene chiesto di dimostrare il teorema d i esistenza e unicità locale, è giusto dimostrare la continuità della funzione e della sua derivata parziale rispetto a y? o devo fare altro?


- per dimsotrare che una funzione a due incognite è differenziabile come faccio?

[taddeus]

Originariamente inviato da King TB
sei sempre il migliore, altro che carnauser

vedrai che, a pochi anni dalla laurea ricorderai solo fisica e chimica del biennio. Carnauser è troppo distante dal biennio.