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  1. #1
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    [geometrico] Le parabole e le tangenti

    Dando ripetizioni di matematica sono incappato in un problema che mi ha dato delle difficoltà non da poco..

    In pratica ho il punto A(2;3) che è il punto di tangenza della retta r: y = 2x + q (che poi è un attimo calcolarla: y = 2x - 1) con una parabola che ha l'asse di simmetria in x=3 (dunque il vertice sarà V(3,?)).

    Da tutto ciò devo ricavarmi l'equazione della parabola.

    Il mio tentativo è stato il seguente:

    1) il discriminante del confronto tra l'equazione della parabola e della retta dev'essere uguale a zero (essendo tangenti la soluzione sarà solo in un punto):

    ax^2 + bx + c = 2x - 1 (formula dedotta dal sistema per trovare le intersezioni tra parabola e retta)
    ax^2 + bx -2x + c + 1 = 0

    ax^2 + (b-2)x + c + 1 = 0

    discriminante posto uguale a zero (perchè, come spiegato sopra, se la retta è tangente l'intersezione è una sola, e dunque il discriminante dev'essere posto a zero, per avere una soluzione unica)

    delta = (b-2)^2 - 4a(c+1) -> [formula 1]

    2) per calcolare la x del vertice esiste la forumla -b/2a dunque sapendo che l'asse di simmetria è in x=3

    -b/2a = 3 -> [formula 2]

    3) anche la parabola passerà in A(2:3) dunque posso scrivere:

    y = ax^2 + bx + c

    3 = a(2)^2 + 2b + c

    4a + 2b + c - 3 = 0 -> [formula 3]


    A questo punto ho messo a sistema le tre formule, sperando che nel sistema con tre incognite e tre equazioni fosse possibile ottenere il risultato, cosa che ovviamente non mi esce:

    (b-2)^2 - 4a(c+1)
    -b/2a = 3
    4a + 2b + c - 3 = 0


    prima isolo b in funzione di a nella formula 2, lo sostituisco a b nella formula tre trovando c in funzione di a e infine sostituisco tutto nella forumla 1 e lì mi escono radici strane che mi fanno capire che c'è qualcosa che non va...

    Qualcuno mi può aiutare?

  2. #2

  3. #3
    Utente di HTML.it
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    Re: [geometrico] Le parabole e le tangenti

    Originariamente inviato da Verce
    ax^2 + bx + c = 2x - 1 (formula dedotta dal sistema per trovare le intersezioni tra parabola e retta)
    ax^2 + bx -2x + c - 1 = 0

    ax^2 + (b-2)x + c - 1 = 0
    quel -1 diventa + 1 portato a sinistra dell'equazione.
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  4. #4
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    Re: Re: [geometrico] Le parabole e le tangenti

    Originariamente inviato da YuYevon
    quel -1 diventa + 1 portato a sinistra dell'equazione.
    Giusterrimo

    Ho modificato, ma non è lì l'errore, (ho riscritto velocemente a mente il procedimento che avevo applicato, è stata solo una svista)

    Il problema è che quando vado a sostituire b e c in funzione di a nella formula 1 mi ritrovo ad avere il coefficiente a elevato al quadrato, dovendo così risolvere un'equazione di secondo grado che mi tira fuori due risultati (mentre mi aspetto un valore unico per il parametro a)

  5. #5
    Utente di HTML.it
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    Re: Re: Re: [geometrico] Le parabole e le tangenti

    Originariamente inviato da Verce
    ma non è lì l'errore
    E' *anche* lì sicuramente

    Originariamente inviato da Verce
    Il problema è che quando vado a sostituire b e c in funzione di a nella formula 1 mi ritrovo ad avere il coefficiente a elevato al quadrato, dovendo così risolvere un'equazione di secondo grado che mi tira fuori due risultati (mentre mi aspetto un valore unico per il parametro a)
    Ricontrolla i calcoli che sono almeno 2-3 anni che non mi esercito

    {
    { (b-2)^2 - 4a(c+1) = 0
    {
    { -b/2a = 3
    {
    { 4a + 2b + c - 3 = 0
    {

    {
    { (b-2)^2 - 4a(c+1) = 0
    {
    { b = -6a
    {
    { 4a + 2b + c - 3 = 0
    {

    {
    { (b-2)^2 - 4a(c+1) = 0
    {
    { b = -6a
    {
    { 4a + 2(-6a) + c - 3 = 0
    {

    {
    { (b-2)^2 - 4a(c+1) = 0
    {
    { b = -6a
    {
    { -8a + c - 3 = 0 -> c = 3 + 8a
    {

    sostituendo b e c così ottenuti nella prima equazione e sommando i termini simili, questa diventa:

    (-6a - 2)^2 - 4a(4 + 8a) = 36a^2 + 4 + 24a - 16a - 32a^2 = 4a^2 + 8a + 4

    4a^2 + 8a + 4 = 0 -> a^2 + 2a + 1 = 0

    a = (-1 +- sqrt(1 - 1))/1 = -1

    a = -1, b = 6, c = -5 ?
    every day above ground is a good one

  6. #6
    Parli di tangenti e non citi neppure il Pio Albergo Trivulzio... controlla meglio che stai sbagliando da qualche parte!
    «Nella mia carriera ho sbagliato più di novemila tiri. Ho perso quasi trecento partite. Ventisei volte i miei compagni mi hanno affidato il tiro decisivo e l'ho sbagliato. Nella vita ho fallito molte volte. Ed è per questo che alla fine ho vinto tutto» - Michael Jordan

    «Prima ti ignorano, poi ti deridono, poi ti combattono. Poi vinci.» - Gandhi

  7. #7
    Utente di HTML.it L'avatar di Angioletto
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    Re: Re: Re: [geometrico] Le parabole e le tangenti

    Originariamente inviato da Verce

    Il problema è che quando vado a sostituire b e c in funzione di a nella formula 1 mi ritrovo ad avere il coefficiente a elevato al quadrato, dovendo così risolvere un'equazione di secondo grado che mi tira fuori due risultati (mentre mi aspetto un valore unico per il parametro a)

    è probabile che uno dei due valori sia da scartare..

    vado a spanne, perchè ricordo poco e non ho fatto i calcoli.
    Per liquidare un popolo si comincia con il privarli della memoria.Si distruggono i loro libri, la loro cultura, la loro storia. E qualcun’ altro scrive loro altri libri, li fornisce di un’altra cultura, inventa per loro un’altra storia. (Milan Kundera)

  8. #8
    Utente di HTML.it
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    Accipicchia..

    i calcoli di YuYevon sono esatti!

    Sta a vedere che era proprio quel -1 l'errore...

    Prima di sabato purtroppo non rivedo il mio allievo e non posso verificare sul suo libro di testo, ma sono ottimista su questo risultato ottenuto

    (Così potrò incolpare lui dell'errore di calcolo e affermare che sin dall'inizio il mio procedimento era esatto )

  9. #9
    Originariamente inviato da Verce
    Accipicchia..

    i calcoli di YuYevon sono esatti!

    Sta a vedere che era proprio quel -1 l'errore...

    Prima di sabato purtroppo non rivedo il mio allievo e non posso verificare sul suo libro di testo, ma sono ottimista su questo risultato ottenuto

    (Così potrò incolpare lui dell'errore di calcolo e affermare che sin dall'inizio il mio procedimento era esatto )


    in ogni caso se il tuo allievo si chiama Neptune probabilmente leggerà il forum a breve

  10. #10
    Originariamente inviato da Nuvolari2
    Parli di tangenti e non citi neppure il Pio Albergo Trivulzio... controlla meglio che stai sbagliando da qualche parte!

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