ragazzi ho un quesito di analisi matematica dettato solo dalla curiosità (non devo dare esami, etc...)

se ho una funzione f in [a,b] a valori in R continua tale che esiste x in [a,b] punto di massimo. Possiamo dire lo stesso punto è un punto di minimo per la funzione g = 1/f?
Non ha importanza che il punto sia di massimo relativo o assoluto...
questo è un fatto dimostrato oppure esistono controesempi?

edit: aggiungo che g dev'essere anch'essa continua in [a,b]