piccolo quesito di analisi

[Hysoka]

ragazzi ho un quesito di analisi matematica dettato solo dalla curiosità (non devo dare esami, etc...)

se ho una funzione f in [a,b] a valori in R continua tale che esiste x in [a,b] punto di massimo. Possiamo dire lo stesso punto è un punto di minimo per la funzione g = 1/f?
Non ha importanza che il punto sia di massimo relativo o assoluto...
questo è un fatto dimostrato oppure esistono controesempi?

edit: aggiungo che g dev'essere anch'essa continua in [a,b]

[Pastore12]

Se la curiosità è tanta... potresti provare a partire dalla definizione di massimo relativo e vedere se 1/f...

[MItaly]

Se aggiungi l'ipotesi che oltre che continua f sia anche derivabile, la questione diventa semplice:
se x è un punto di massimo relativo, f'(x)=0 e f''(x)<0.
Dalla formula di derivazione della funzione composta, per g(x) abbiamo


e dato che f'(x)=0, g'(x)=0, quindi x resta un estremante anche per g

Derivando nuovamente,



Dal momento che f'(x)=0, g''(x) si riduce a



(f(x))^2 è sicuramente positivo, f''(x) è negativo per ipotesi, e dunque g''(x) è positivo per via del meno. Dunque è sicuramente un minimo relativo.

Nota bene: tutto questo naturalmente se f(x) non è zero, nel qual caso la g(x) diverge e succedono altre malvagità (forse c'è qualche speranza che non diverga tutto, ma se c'è dipende dalla f).

In ogni caso, nell'ipotesi che f(x), oltre ad essere continua, non assuma mai il valore 0 su tutto [a, b], g(x) sarà continua su [a, b], dato che 1/x preserva la continuità salvo che nel punto zero.

[quaestio]

lo dico ogni volta.
vi ammiro.

[Hysoka]

Originariamente inviato da MItaly
Se aggiungi l'ipotesi che oltre che continua f sia anche derivabile, la questione diventa semplice:
se x è un punto di massimo relativo, f'(x)=0 e f''(x)<0.
Dalla formula di derivazione della funzione composta, per g(x) abbiamo


e dato che f'(x)=0, g'(x)=0, quindi x resta un estremante anche per g

Derivando nuovamente,



Dal momento che f'(x)=0, g''(x) si riduce a



(f(x))^2 è sicuramente positivo, f''(x) è negativo per ipotesi, e dunque g''(x) è positivo per via del meno. Dunque è sicuramente un minimo relativo.

Nota bene: tutto questo naturalmente se f(x) non è zero, nel qual caso la g(x) diverge e succedono altre malvagità (forse c'è qualche speranza che non diverga tutto, ma se c'è dipende dalla f).

In ogni caso, nell'ipotesi che f(x), oltre ad essere continua, non assuma mai il valore 0 su tutto [a, b], g(x) sarà continua su [a, b], dato che 1/x preserva la continuità salvo che nel punto zero.

grazie...mi hai convinto
@Pastore12: molto utile