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Visualizza la versione completa : teoria dei segnali


ettore8
09-08-2011, 18:40
Ciao,

scusate se vi rompo il 9 di Agosto ma sto cercando di studiare segnali e pur avendo con me Kg di carta e un bel po' di dispense online con esercizi risolti non ne vengo a capo :(

Il mio primo problema è il campionamento. A livello di ragionamento ho capito come funziona, so che la trasformata diventa periodica ecc. ecc. ma non appena ho davanti i numeri, non riesco a capire da dove saltano fuori :|

Ecco un esempio di esercizio:

x(t) = (sin (2piBt)/pit ) * cos (piBt)

(dove pi = pi greco, * è una moltiplicazione)

Mi si chiede la minima frequenza di campionamento: calcolo la trasformata di Fourier, trovo la banda max e la raddoppio.

Poi mi si dice che la freq di campionamento usata è 5B/2

e mi si chiede la trasformata di fourier del segnale campionato.

Un altro è:

x(t) = cos^3(2piFt)

e la freq. di campionamento è 5F/2

e mi si chiede l'espressione del segnale ricostruito.
:dhò:

Una birra pagata (a milano) a chi mi spiega passo passo come si risolvono.
:fiore:

grazie in anticipo

linoma
09-08-2011, 19:17
La prima potrebbe essere questa (http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function) la sua trasformata e questa (http://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_function).
Ma è teoria dei segnali o elaborazione numerica?

ettore8
09-08-2011, 19:42
le trasformate più o meno le ho capite :stordita:

quello che non mi torna è: dalla trasformata del segnale originale, come arrivo alla trasformata del segnale campionato ?

c'è la formula: 1/t SOMM (X(f - k/T)) ma non capisco come applicarla :/

Dennis
09-08-2011, 23:22
Ciao

la formula che ha riportato tu, 1/T * SUM_{k=-inf}^{k=+inf} X(f - k/T) è proprio la relazione che intercorre tra la trasformata di Fourier continua e quella tempo-discreta.

- Se il segnale è continuo -> Applico la trasformata di Fourier (FT)
- Se il segnale è campionato -> Il segnale è discreto -> Applico la Discrete-Time Fourier Transform (DTFT). Per le proprietà della trasformata, questa sarà appunto formata da infinite versioni della trasformata continua, traslate e sommate secondo la formula che hai scritto tu.

In quella formula: T è il tempo che c'è tra due campioni consecutivi (quindi 1/freqCampionamento), X(f) è la trasformata del segnale continuo.

Ipotizziamo che hai un segnale continuo x(t). La versione campionata (prova a pensarla così) è ottenuta moltiplicando x(t) per un treno di impulsi a distanza nT (delta(t-nT)). Secondo quanto detto sopra, la trasforamta del segnale campionato la puoi calcolare cosi: prendi la trasforamta del segnale continuo centrata in zero, prendi quella centrata in 1/T, poi in 2/T, ... (infinito) e stessa cosa con il segno negativo. Sommando tutto, ottieni la trasformata del segnale campionato.

Se macini un po' di inglese, vediti http://en.wikipedia.org/wiki/Relations_between_Fourier_transforms_and_Fourier_s eries#DTFT_versus_continuous_Fourier_transform


Il discorso del segnale ricostruito è intuitivamente così: per il teorema di Nyquist, se campioni il segnale ad almeno una frequenza di due volte f_max, allora non perdi informazioni. In questa situazione puoi vedere come le versioni shiftate della trasformata di cui si parlava sopra sono shiftate di una quantità tale da non farle sovrapporre. In questa situazione, partendo dalla trasformata riesci a ricostruire il segnale continuo completamente, senza perdita di informazione. Se invece campioni sotto 2*f_max, gli spettri shiftati iniziano a sovrapporsi e per questo motivo c'è perdita di informazione (se applichi l'antitrasformata non ottieni il segnale originale). Forse un po' di prove con MATLAB plottando un po' di dati ti fanno capire meglio cosa succede.

Spero di non averti fatto troppa confusione, buoni calcoli! :)

ettore8
10-08-2011, 09:34
Originariamente inviato da Dennis
Ciao

la formula che ha riportato tu, 1/T * SUM_{k=-inf}^{k=+inf} X(f - k/T) è proprio la relazione che intercorre tra la trasformata di Fourier continua e quella tempo-discreta.

- Se il segnale è continuo -> Applico la trasformata di Fourier (FT)
- Se il segnale è campionato -> Il segnale è discreto -> Applico la Discrete-Time Fourier Transform (DTFT). Per le proprietà della trasformata, questa sarà appunto formata da infinite versioni della trasformata continua, traslate e sommate secondo la formula che hai scritto tu.

In quella formula: T è il tempo che c'è tra due campioni consecutivi (quindi 1/freqCampionamento), X(f) è la trasformata del segnale continuo.

Ipotizziamo che hai un segnale continuo x(t). La versione campionata (prova a pensarla così) è ottenuta moltiplicando x(t) per un treno di impulsi a distanza nT (delta(t-nT)). Secondo quanto detto sopra, la trasforamta del segnale campionato la puoi calcolare cosi: prendi la trasforamta del segnale continuo centrata in zero, prendi quella centrata in 1/T, poi in 2/T, ... (infinito) e stessa cosa con il segno negativo. Sommando tutto, ottieni la trasformata del segnale campionato.

Se macini un po' di inglese, vediti http://en.wikipedia.org/wiki/Relations_between_Fourier_transforms_and_Fourier_s eries#DTFT_versus_continuous_Fourier_transform


Il discorso del segnale ricostruito è intuitivamente così: per il teorema di Nyquist, se campioni il segnale ad almeno una frequenza di due volte f_max, allora non perdi informazioni. In questa situazione puoi vedere come le versioni shiftate della trasformata di cui si parlava sopra sono shiftate di una quantità tale da non farle sovrapporre. In questa situazione, partendo dalla trasformata riesci a ricostruire il segnale continuo completamente, senza perdita di informazione. Se invece campioni sotto 2*f_max, gli spettri shiftati iniziano a sovrapporsi e per questo motivo c'è perdita di informazione (se applichi l'antitrasformata non ottieni il segnale originale). Forse un po' di prove con MATLAB plottando un po' di dati ti fanno capire meglio cosa succede.

Spero di non averti fatto troppa confusione, buoni calcoli! :)

Innanzitutto grazie!
A livello "teorico" dovrei esserci... il mio problema è proprio fare i calcoli.
Ho un sacco di esercizi con relative soluzioni che però non riportano i passaggi ma solamente i valori più importanti. Probabilmente mi sto perdendo in due calcoli stupidissimi ma non riesco ad arrivarci :jam:
ad esempio, i due esercizi che ho incluso nel primo post. Chi ha voglia di spipegarmeli passo passo ? :D fino alla trasformata, più o meno, capisco dalla trasformata, alla trasformata campionata non riesco a capire perchè alcune volte resta tutto invariato e altre invece cambia tutto ....

linoma
10-08-2011, 09:59
Per i calcoli puoi andare qui (http://www.random-science-tools.com/maths/FFT.htm) sembra molto ben fatto. Nulla vieta di applicare un low-pass e campionare a frequenze + basse.

ettore8
10-08-2011, 10:34
Originariamente inviato da linoma
Per i calcoli puoi andare qui (http://www.random-science-tools.com/maths/FFT.htm) sembra molto ben fatto. Nulla vieta di applicare un low-pass e campionare a frequenze + basse.

:stordita: devo farli a mano all'esame :mame:

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