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  1. #1
    Utente di HTML.it L'avatar di Zeldic
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    Richiesta d'aiuto Matematica discreta - Relazioni ricorsive.

    Ciao a tutti, ragazzi!! Qualcuno tra un video di Belen ed una barzelletta, per caso potrebbe aiutarmi nello svolgimento di questo esercizio?

    Traccia :
    "Definite ricorsivamente la sequenza :

    { a_n = 3^n + 1 } _n >= 0 ."

    Svolgimento mio :

    a_0 = 2 a_1 = 4 a_2 = 10 a_3 = 28 a_4 = 82 . . . .

    { a_0 = 2 (Condizione iniziale).

    a_n = a_(n-1) * 3 - 2 } (Secondo me, ma credo non sia corretto!) Per ogni n >= 0 (Relazione ricorsiva).

    Metodo per la ricerca della relazione ricorsiva : (Nemmeno questo è giusto! )

    a_n= 3^n + 1

    a_(n-1) = 3^(n-1) + 1 (Non lo so fare!!)

    a_(n-1) = ( 3^n / 3 ) + 1 = a_n + 1 / 3 ==> ??

    Intuizione :
    Si presuppone che sia :

    a_n = 3^n + 1

    Verifichiamo che ciò è vero.

    Per ogni n >= 1 a_n = 3^n + 1 .

    Per convenzione (poniamo) a_0 = 2 .

    Principio d'induzione :
    I) Passo Base :

    a_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4 . V (Verificata).

    a_2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 . V (Verificata).

    II) Passo Induttivo :

    Per ogni n >= 0 a_n = 3 * n + 1 --> 3^(n+1) + 1 .

    Supponiamo vera a_n = 3^n + 1 . (Ipotesi Induttiva).

    a_(n+1) = a_n * 3 - 2 = (3^n + 1) * (3) - 2 = (3^(n+1) + 3) - 2 = 3^(n+1+1) - 2 = 3^(n+2) - 2 = ?? (NO!!)

    // Oppure avrei dovuto fare più semplicemente :

    a_n * 3 + 1 = 3^n + 1 * 3 +1 = 3^(n+1) + 2 ?? (Non ci siamo comunque, perché ottengo 2, e non +1?)

  2. #2
    Utente di HTML.it L'avatar di Zeldic
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    Up!!

  3. #3

    Re: Richiesta d'aiuto Matematica discreta - Relazioni ricorsive.

    ROBA MIA IN MAIUSCOLO DATA LA NON VOGLIA DI METTERE I TAG

    "Definite ricorsivamente la sequenza :

    { a_n = 3^n + 1 } _n >= 0 ."

    a_0 = 2
    a_1 = 4
    a_2 = 10
    a_3 = 28
    a_4 = 82 . . . .

    a_n = a_(n-1) * 3 - 2 (Secondo me, ma credo non sia corretto!) Per ogni n >= 0 (Relazione ricorsiva).

    FIN QUI OK, PER IL "PASSO BASE" DEVI DIMOSTRARE CHE LA RELAZIONE RICORSIVA VALE PER N=0 (O 1, QUEL CHE L'E')

    Principio d'induzione :
    I) Passo Base :

    a_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4

    a_2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10
    ma anche
    a_2 = a_1*3-2 = 4*3-2 = 10, quindi V (Verificata)

    II) Passo Induttivo :

    Per ogni n >= 0 a_n = 3 * n + 1 --> 3^(n+1) + 1 .

    Supponiamo vera a_n = 3^n + 1 . (Ipotesi Induttiva).

    QUESTO E' SBAGLIATO SIA PER LA DIMOSTRAZIONE (NON PUOI SUPPORRE a_(n+1) = a_n * 3 - 2, CHE E' QUELLO CHE DEVI DIMOSTRARE) OLTRE CHE PER IL CALCOLO ((3^(n+1) + 3) - 2 != 3^(n+1+1) - 2)
    a_(n+1) = a_n * 3 - 2 = (3^n + 1) * (3) - 2 = (3^(n+1) + 3) - 2 = 3^(n+1+1) - 2 = 3^(n+2) - 2 = ?? (NO!!)

    QUI NON HO CAPITO COSA VUOI FARE

    // Oppure avrei dovuto fare più semplicemente :
    a_n * 3 + 1 = 3^n + 1 * 3 +1 = 3^(n+1) + 2 ?? (Non ci siamo comunque, perché ottengo 2, e non +1?)

    SOSTANZIALMENTE DEVI TROVARE
    a_{n+1} = 3^(n+1)+1 = ... = 3*(3^n+1)-2 = 3*a_n-2
    EVENTUALMENTE AGGIUNGI QUALCHE PASSAGGIO AL POSTO DEI PUNTINI
    Walk fast, chew slowly.
    "We used students as subjects because rats are expensive and you get too attached to them"

  4. #4
    Utente di HTML.it L'avatar di Zeldic
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    QUESTO E' SBAGLIATO SIA PER LA DIMOSTRAZIONE (NON PUOI SUPPORRE a_(n+1) = a_n * 3 - 2, CHE E' QUELLO CHE DEVI DIMOSTRARE) OLTRE CHE PER IL CALCOLO ((3^(n+1) + 3) - 2 != 3^(n+1+1) - 2)
    a_(n+1) = a_n * 3 - 2 = (3^n + 1) * (3) - 2 = (3^(n+1) + 3) - 2 = 3^(n+1+1) - 2 = 3^(n+2) - 2 = ?? (NO!!)

    Scusa per il ritardo nella risposta.. Grazie, weatherman! Ho capito che ho sbagliato nella dimostrazione e nel calcolo, ora è tutto più chiaro!

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