[Fisica] Operazioni tra misure

[DiegoFilippo]

Qualche anima pia potrebbe spiegarmi le varie operazioni tra misure. ad esempio :

M1 = Ma +- Ea
M2 = Mb +- Eb
M3 = Mc +-Ec


[ M = misura, E =errore assoluto]

Come faccio a fare :

M1+M2=?
M1-M2=?
M1*M2=?
M1*M2*M3=?
M1/M2=? ----------> M2 diverso da 0

[MItaly]

L'errore assoluto è l'errore massimo (in eccesso o in difetto) che ci può essere su ciascuna misura, per cui dovrai andare a considerare i "casi" peggiori.

Sommiamo M1 e M2:

M1 + M2 = Ma ± Ea + Mb ± Eb = Ma + Mb + (± Ea ± Eb)
Il caso di errore massimo si ha quando i segni di Ea e Eb sono concordi, per cui avremo
M1 + M2 = Ma + Mb ± (Ea + Eb)
e quindi l'errore assoluto sulla somma è pari alla somma degli errori assoluti. Stesso ragionamento vale per la differenza.

Per il prodotto si ragiona alla stessa maniera:
M1 * M2 = (Ma ± Ea)(Mb ± Eb) = Ma*Mb ± Ma*Eb ± Mb*Ea ± Ea*Eb
qui in genere si introduce un'approssimazione: dato che, perché la misura abbia un senso, Ea è molto più piccolo di Ma e lo stesso vale per Eb rispetto a Mb, il termine Ea*Eb risulta trascurabile rispetto agli altri, e non si considera; dunque
M1 * M2 ≃ Ma*Mb + (± Ma*Eb ± Mb*Ea)
anche qui consideriamo il caso peggiore, in cui i due termini di errore siano concordi, otteniamo così
M1 * M2 ≃ Ma*Mb ± (|Ma|*Eb + |Mb|*Ea)
e quindi l'errore assoluto risulta essere |Ma|*Eb + |Mb|*Ea.

Per la composizione di tre misure basta applicare due volte quest'ultima formula.

[DiegoFilippo]

e per la divisione?

[MItaly]

Per quanto riguarda l'errore sul quoziente:
se definiamo l'errore relativo come


allora si può scrivere:


Il secondo termine ovviamente è massimo quando il numeratore è massimo e il denominatore è minimo, ovvero quando a numeratore c'è il segno + e a denominatore il segno - (stiamo assumendo ancora una volta che l'errore sia più piccolo della misura, e quindi 1-e sia comunque positivo); pertanto:


Ora, dal momento che eb è "piccolo" (come si usa dire, "molto minore di 1"), si può fare un'approssimazione*


che unita all'approssimazione già usata sopra (il prodotto delle incertezze è trascurabile rispetto alle incertezze) dà:


pertanto:



Vediamo ora il valore minimo: rispetto a quello massimo, al secondo termine ci saranno i segni scambiati:


con le stesse approssimazioni di prima si ha:


per cui in definitiva, combinando i due risultati:



L'errore assoluto sul quoziente dunque risulta essere:



__________________________

* l'approssimazione in questione deriva dal fatto che, per |x|<1, vale l'identità (spiegata ad esempio qui):



e la nostra approssimazione consiste nel prendere solo i primi due termini della sommatoria a sinistra (vale ovviamente solo per x "piccolo", per cui i termini successivi risultano trascurabili); la validità di questa approssimazione si può anche vedere plottando 1+x e 1/(x-1) in prossimità dello zero: si vede chiaramente che differiscono di molto poco (e la discrepanza diminuisce andando verso lo zero).

[MItaly]

Comunque, ti svelo un segreto: gli "errori massimi" delle misure in fisica non si usano praticamente mai, si usano piuttosto la deviazione standard e la formulona magica per la combinazione delle incertezze gaussiane.

[DiegoFilippo]

non so cosa risponderti, ma puoi parlare come se stessi parlando a uno di prima superiore, perchè sinceramente non ho ben capito come hai fatto

[MItaly]

Da che passaggio inizi a perderti? Hai capito le dimostrazioni per somma e prodotto?

[DiegoFilippo]

somma e prodotto si, l'altro tuo post no. cioè in un interrogazione non mi ricorderei mai quello che hai scritto.

[DiegoFilippo]

e invece se mi si chiede radicequadrata(M1)--------> M1= Ma+-Ea?

[MItaly]

Originariamente inviato da DiegoFilippo
somma e prodotto si, l'altro tuo post no. cioè in un interrogazione non mi ricorderei mai quello che hai scritto.

Oddio, non è nulla di che in fondo... semplicemente raccogli i valori delle misure e fai due approssimazioni. Non credo si possa spiegare in maniera più semplice (e infatti sull'Amaldi per liceo ho visto che non lo spiega, dice solo che si fa "in maniera analoga alla regola per il prodotto").

e invece se mi si chiede radicequadrata(M1)--------> M1= Ma+-Ea?

L'idea di fondo è sempre quella di fattorizzare la misura:


e quello che tu vuoi ottenere alla fine è qualcosa nella forma


ovvero, valore (con applicata la tua operazione) ± l'errore

Per fare questo, basta considerare



quello che ci resta da fare è approssimare il secondo termine, in modo che sia scritto come un 1 + qualcosa, così da tornare alla forma che ci interessa. Per fare questo si può usare un'approssimazione detta formula di Taylor arrestata al prim'ordine, che ci dice che, per piccoli valori di e_a, vale



(come peraltro si può vedere dal grafico:
)

Operando questa sostituzione, si ottiene



Ricordando la definizione di e_a e sostituendo, otteniamo



per cui l'errore sulla radice della misura sarà approssimativamente pari a