Matematica // Teorema di Lagrange

[xplorer87]

dunque, il mio dubbio e' questo, vediamo la tesi del teorema di lagrange:

presa una f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora vale che [f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(c)

ok, le ipotesi sono che f(x) sia continua e derivabile nell'intervallo.

ora, io ho studiato una dimostrazione che avviene tramite una funzione h(x) ausiliaria tale che:

h(x)=f(x)(b-a) - x(f(b)-f(a))

su questa h(x) si verifica che valgono le tre ipotesi del teorema di rolle:

h(x) continua e derivabile nell'intervallo [a,b] e h(a)=h(b)

e da qui con un paio di calcoli si dimostra il teorema di lagrange. tutto molto bello, pero' per dimostrare lagrange, si usa una funzione h(x), che e' particolare, non generica. non verifica infatti solo le due ipotesi del teorema di lagrange (continuita' e derivabilita' nell'intervallo), ma anche una terza che lagrange non prevede (cioe' h(a)=h(b), che poi serve a verificare rolle). in soldoni, si ha come l'impressione che il teorema di lagrange non valga piu' se uso una funzione che non ha lo stesso valore agli estremi dell'intervallo.

dov'e' l'intoppo? :master:

[trinityck]

[supersaibal]Originariamente inviato da xplorer87
presa una f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora vale che [f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(c)

ok, le ipotesi sono che f(x) sia continua e derivabile nell'intervallo.

ora, io ho studiato una dimostrazione che avviene tramite una funzione h(x) ausiliaria tale che:

h(x)=f(x)(b-a) - x(f(b)-f(a))

su questa h(x) si verifica che valgono le tre ipotesi del teorema di rolle:

h(x) continua e derivabile nell'intervallo [a,b] e h(a)=h(b)
[/supersaibal]

ovviamente... sì... mmm...

[chisono]

se [a,b] è continua è derivabile questo significa che potro' trovare al suo interno altri 2 punti [c,d] dove
[f(d)-f(c)]/(d-c)=f'(e)



mi sembra ovvio, quindi forse ho capito male il tuo dubbio

[xplorer87]

mmh... che c'entra? :S

[chisono]

[supersaibal]Originariamente inviato da xplorer87
mmh... che c'entra? :S [/supersaibal]

dici che

in soldoni, si ha come l'impressione che il teorema di lagrange non valga piu' se uso una funzione che non ha lo stesso valore agli estremi dell'intervallo.

ed io ti ho detto che basta non prendere gli estremi ma 2 punti all'interno dell'intervallo che lagrange è cmq dimostrabile

[xplorer87]

[supersaibal]Originariamente inviato da chisono
ed io ti ho detto che basta non prendere gli estremi ma 2 punti all'interno dell'intervallo che lagrange è cmq dimostrabile [/supersaibal]

aha, giusto, ma come si dimostra? non con h(x), mi pare di capire :s

[chisono]

[supersaibal]Originariamente inviato da xplorer87
aha, giusto, ma come si dimostra? non con h(x), mi pare di capire :s [/supersaibal]

h(x) deve essere continua e derivabile nell'intervallo, non più f(x)

[xplorer87]

e' come dire che basta che h(x) sia continua e derivabile, poi se e' anche qualcos'altro poco importa? O_o

[chisono]

[supersaibal]Originariamente inviato da xplorer87
e' come dire che basta che h(x) sia continua e derivabile, poi se e' anche qualcos'altro poco importa? O_o [/supersaibal]

non è come dire...
è proprio così