[BASH/SCRIPT] Inserire data in logfile prima dello stderr

[ilmo lesto]

Vorrei poter creare un rudimentale file di log per un mio script, dove su tale file venga scritta la data e il messaggio di errore generato da un comando presente nello script.. Faccio un esempio

ls /directory/che/non/esiste

messaggio che compare in stderr

ls: /directory/che/non/esiste: No such file or directory

vorrei poter redirigere lo stderr su un file di log, inserendo però anche la data, una cosa del tipo

Jul 22 11:17:35 ls: /directory/che/non/esiste: No such file or directory

Mi sto scervellando cercando di utlizzare redirezioni complesse, ma non riesco a far scrivere la data prima dell'output d'errore del comando..

pensavo a soluzioni con parentesi graffe del tipo

{ ls /directory/che/non/esiste || $(date +%T) } # --->QUI DOVREI METTERE LE REDIREZIONI<-----

Ho provato ad aggiungere un po' di combinazioni con le redirezioni, ma tutte le combinazioni che ho provato hanno fallito miseramente..