Doppio ciclo while

[tampertools]

$country = $country != $appoggio['country'] ? $appoggio['country'] : $country; 

Se $country è diverso $appoggio[country] allora usa quest'ultimo, se sono uguali usa $country (che è uguale a $appoggio[country])
Tanto vale fare così:

$country = $appoggio['country']; 

Comunque puoi provare così:

<?php

mysql_connect("xxx","xxx","xxx") or die(mysql_error());
mysql_select_db("xxx") or die(mysql_error());
$data = mysql_query("SELECT * FROM tabella WHERE continent='nordamerica' ORDER BY country ASC") or die(mysql_error()); 
$countries = [];
while ($appoggio= mysql_fetch_array($data)) {
    if (!array_key_exists($countries, $appoggio["country"]) $countries[$appoggio["country"]] = [];
    $countries[$appoggio["country"]][$appoggio["id"]] = $appoggio["name"];
}
echo "<ul class='continent'>";
foreach ($countries as $country => $names) {
    ?>
    <li>
        <p class='nomepaese'><?php echo $country; ?></p>
        <ul>
        <?php foreach ($names as $id => $name) { ?>
            <li>
                <a href='index.php/en/abc/bb/<?php echo $id; ?>'>
                    <?php echo $name; ?>
                </a>
            </li>
        <?php } ?>
        </ul>
    </li>
    <?php
}
echo "</ul>";

?>

Poi... mysql è deprecata da php 5.5, è meglio se usi mysqli:

<?php

$mysqli = new mysqli("localhost", "username", "password", "database");
$data = mysqli->query("SELECT * FROM tabella WHERE continent='nordamerica' ORDER BY country ASC"); 
$countries = [];
while ($appoggio= $data->fetch_array()) {
    if (!array_key_exists($countries, $appoggio["country"]) $countries[$appoggio["country"]] = [];
    $countries[$appoggio["country"]][$appoggio["id"]] = $appoggio["name"];
}
echo "<ul class='continent'>";
foreach ($countries as $country => $names) {
    ?>
    <li>
        <p class='nomepaese'><?php echo $country; ?></p>
        <ul>
        <?php foreach ($names as $id => $name) { ?>
            <li>
                <a href='index.php/en/abc/bb/<?php echo $id; ?>'>
                    <?php echo $name; ?>
                </a>
            </li>
        <?php } ?>
        </ul>
    </li>
    <?php
}
echo "</ul>";

?>

PS
Il codice che hai postato avrebbe generato un html non valido (un <p> come figlio diretto di un <ul> )

PPS
Quando posti del codice sul forum, mettolo tra i tag [html], [php] o [code] (i tasti "<>", "php" e "#" nell'editor in modalità avanzata)

PPPS
Quanto mi piacciono le risposte lunghe