Allora difficilmente un qualsiasi servizio hosting mette a disposizione i propri database per l'accesso dall'esterno (vabbhé, ovviamente salvo pagamento per upgrade del profilo hosting). Non so come sia strutturato il servizio hosting da cui vuoi sganciarti, nè tanto meno quanto metta a disposizione il nuovo servizio hosting, ovvero se hai chiesto upgrades o quanto: senza fare nomi, nel pacchetto base comunque phpmyadmin è già installato e disponibile, per cui l'installazione ulteriore in cui ti stai avventurando non serve a niente e probabilmente non andrà a buon fine per motivi che puoi tu stesso indagare con il nuovo servizio hosting.

C'è da concentrarsi invece sul vecchio servizio: che cosa mette a disposizione? Se non c'è phpmyadmin installato lì, forse vale la pena procedere con l'installazione sul vecchio hosting, quindi fare il dump del database e procedere all'importazione sul nuovo servizio hosting (con il phpmyadmin da loro fornito).
Se invece non vuoi/puoi installare phpmyadmin sul vecchio servizio, che altro strumento ti viene offerto? Una console da cui fare un dump a linea di comando? Un help-desk a cui chiedere il dump? La possibilità di effettuare connessioni dall'esterno al database (nel qual caso magari ci si inventa qualcosa per fare un dump in locale da te)