Quella del database sarebbe la soluzione migliore, ma si può fare anche come dici tu, l'importante è che non vai a toccare il file

Eccoti un esempio

Codice PHP:
<?php
// leggo il contenuto del file conteggio.txt e lo salvo nella variabile $numero
$numero file_get_contents('conteggio.txt');
// incremento di 1 la variabile $numero e la salvo nel file conteggio.txt
file_put_contents('conteggio.txt', ++$numero);
// imposto l'oggetto della mail con il nuovo numero
$oggetto "RICHIESTA DI ASSISTENZA Numero $numero";