Non credo sia possibile farlo con il WebBrowser, che non è altro che un "wrapper" (contenitore) per il controllo ActiveX di Internet Explorer...e quindi si comporta come tale.

Dovresti procurarti un componente che consenta di colloquiare tramite il protocollo HTTP, o FTP a seconda delle esigenze, con un server remoto per inviare la richiesta di download e gestire lo scaricamento e salvataggio del file.

Ciao!