Benvenuta

<script>
var i = 0;
function buttonClick() {
i++;
document.getElementById('inc').value = i;
}
</script>
<button onclick="buttonClick();">VOTA</button>
<input type="text" name="testo" style="width:30px"></input>
Usando questo script lo salva dentro alla variabile ed ad ogni aggiornamento della pagina sarà persa...

Ora desidero che questo tasto funzioni come pulsante vota e cioe' che mantenga.

Per mantenere lo dovresti salvare (si dovrebbe usare un database o file perchè non verrà cancellata ( o azzerrata come dici te))

il voto, non che si azzeri ad ogni refresh di pagina, che ogni utente possa votare una volta sola ed infine che funzioni perchè l'ho copiato ed incollato per 20 volte quanti sono i video e non conteggia più se clicco resta il contatore bianco....

Quindi dovresti usare i formulari <form> ed usarli con il metodo POST.
Visto che sei principiante, te conviene andarli a studiarli.

Non ti spaventare perchè hai sbagliato il codice.
Nel mondo di Javascript ci sono molte cose!!!