Sbagli domande
Cos'è ajax?
Ajax non è un linguaggio.
Ajax = Richiesta http senza ricaricare la pagina
e basta.
Ajax è rappresentato dall'oggetto XMLHttpRequest
nient altro
Con ajax non puoi settare cookie, ajax non è uno stile di programmazione.

(Ajax non fa richieste cross domain)

http://www.html.it/guide/guida-ajax/

Una domanda simile alla tua
È meglio usare gli alert o JavaScript?