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Ecco un esempio, chiaramente super-abbozzato:

codice:
public class FramePrincipale extends JFrame {
    private JTextArea textArea;

    public FramePrincipale() {
        textArea = new JTextArea();

        // ....

        AltraClasse ac = new AltraClasse(textArea);
    }

    // ....
}


public class AltraClasse {
    private JTextArea textArea;

    public AltraClasse(JTextArea textArea) {
        this.textArea = textArea;
    }

    // ... usa textArea in altri metodi
}

Come puoi vedere lo scenario è semplice: FramePrincipale istanzia AltraClasse e gli può passare il riferimento al JTextArea.
Questo, ripeto, è un caso banale/basilare. E non è detto che sia (quasi) esattamente il tuo ...
Diciamo che hai beccato in pieno! Ricapitolando.

1.Altraclasse è un metodo della class Altraclasse giusto?
2.Lo devo istanziare in FramePrincipale o qui per il mio codice:
codice:
public mainJFrame() throws IOException {
3.JTextArea va dichiarata private
4.Quando istanzio la classe gli passo TextArea
5.poi nel metodo metto come parametro da passare un JTextArea quindi quando richiamo il metodo:

codice:
ac.AltraClasse(textArea);
Mentre per usare poi l' append nel metodo faccio cosi:

codice:
public AltraClasse(JTextArea textArea) {
        this.textArea = textArea;
        textArea.append(stringa);

    }
e dovrebbe funzionare.