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La salva in 1680*1080px come posso salvarla in 1920*1080?
Ma così cambia il aspect-ratio (rapporto larghezza/altezza)! Vuoi davvero fare uno "stretching" orizzontale? O vuoi centrare orizzontalmente mantenendo quindi il aspect-ratio??

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In ultimo come posso scrivere un testo in un JTextField e copiarlo sull'immagine che viene salvata?
La immagine fornita dal screen capture è un BufferedImage, che è una immagine completamente "bufferizzata" in memoria ed è modificabile pixel per pixel come si vuole.
Prendi il suo Graphics2D e usi le primitive di disegno es. drawText. Entrano in gioco chiaramente font, colore e altro impostabile sul Graphics2D.
Alla fine di tutto il painting è importante fare un dispose() sul Graphics2D. A quel punto la immagine è modificata e puoi farci altro.