In effetti manca qualche pezzo. Abbiate pazienza, per me la programmazione � pi� un hobby che altro e devo confessare che come autodidatta ho qualche voragine nella mia preparazione.
Rispondo

Come hai fatto il deploy?
Beh! Come ho sempre fatto per i siti, tramite ftp

Come hai creato la directory virtuale?
Questa e' piu' difficile per me. Innanzitutto ho fatto un'esercitazione su un corso, quindi ho seguito un percorso gia' fatto. Suppongo tu ti riferisca all'istruzione che ho messo nel Controller e che uso per connettermi alla pagina nell'URL
[Route("api/[controller]")]

Che server stai usando? Di quale provider?
Uso un sito con Aruba

Sei sicuro che supporti ASP.NET e .NET Core in generale?
Sicuramente supporta ASP.NET perche' lo uso da anni soprattutto per fare prove. Il codice era in VB.NET e ha sempre funzionato. Adesso ho cancellato tutto e il codice ora e' in C#. Forse la Framework non e' recentissima

Spero sia piu' chiaro.